Найти значение производной функции

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

История искусства
Стили в архитектуре и дизайне
История дизайна
Электротехника
Курсовой расчет
ТОЭ типовые задания примеры решения задач
Линейные цепи постоянного тока
Комплексный метод расчета
цепей синусоидального тока
Электрические цепи с
взаимной индуктивностью
Расчет неразветвленных
магнитных цепей
Электромагнитные устройства
Трансформаторы
Однофазный асинхронный двигатель
Электронно-оптические приборы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Измерение тока и напряжения
Работа электрической машины
постоянного тока в режиме генератора
Генераторы
Лабораторные работы
Контрольная работа
Конспект лекций
Графика
Начертательная геометрия
Решение практических задач
Математика
Методические указания к выполнению
контрольных работ
Решение линейных дифференциальных
уравнений
Поверхности второго порядка
Интегрирование
Предел
Линейная функция
Матрица
Физика
Оптика лекции и примеры решения задач
Электростатика
Туриcтические
достопримечательности
Мексика
Биосферный резерват Сиан-Каан
Ольмеки
Пуэбла-де-Сарагоса
Великая Пирамида Чолула
Кафедральный собор Успения
Пресвятой Богородицы в Мехико
Замок Чапультепек (Castillo de Chapultepec)
Памятник героям независимости
Пирамида Солнца
Францисканские миссии в Сьерра-Горде
Церковь Святого Михаила Архангела
Достопримечательности
Гуанахуато Ла Валенсиана
Алхондига де Гранадитас
Иконографический музей Дон Кихота
Белгород
экскурсия по центральной части г. Белгорода

Смоленский собор

Белгородский государственный
академический театр
Свято-Троицкий бульвар
Санкт Петербург

Мосты Санкт-Петербурга

Троицкий мост
Банковский мост с четырьмя грифонами
Демидов мост через канал Грибоедова
Виды и организация туризма
Культурно-познавательный туризм
Деловой туризм.
Рекреационный туризм
Образовательный туризм
ШОП-ТУР
Религиозный туризм
Экологический туризм
Приключенческий туризм
тур «Затерянный город» в Таиланде
Анимация – новое направление в туризме
Сельский туризм
Горнолыжный туризм
Культурное наследие народов Майя
САМЫЕ РАННИЕ МАЙЯ
ПОСЕЛЕНИЯ РАННЕАРХАИЧЕСКОГО
ПЕРИОДА
ПОЯВЛЕНИЕ КУЛЬТУРЫ МАЙЯ
расцвет культуры «мирафлорес»
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ МАЙЯ.
КУЛЬТУРА «ТСАКОЛ»
В позднеклассический период искусство майя
ИЦЫ И ГОРОД МАЙЯПАН
МАЙЯ-МЕКСИКАНСКИЕ ДИНАСТИИ
В ЮЖНОЙ ОБЛАСТИ
Государство древних майя
МИРОВОЗЗРЕНИЕ МАЙЯ
Диего де Ланда
Развитие туризма в
Новосибирской области

Туристические фирмы

Для отдыхающих в Краснозерском районе

Колыванский район

Памятники археологии

 

Примеры.

Найти значение производной функции:y=3-4x+8.

Решение:

По правилу нахождения производной алгебраической суммы функций (формула 2):

y′= (3-4x+8)′= (3-(4x)′+(8)′=3·2x+·-4·1+0=6x+·

Найти значение производной функции: y =+4).

Решение:

Функция представляет собой произведение двух множителей: u=+4. По формуле 3:

y′ =+4))′ = +4)+ +4)′=6+4)+·.

Найти значение производной функции: y=.

Решение:

Функция представляет собой частное двух выражений: u=4. По формуле 5: y′===

8

Решение. Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции (формула 6):

9

Если l05image040, то l05image042

y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y '(–1).

y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.

7.Если y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.

8. l05image044

Пусть дана функция. Для её исследования нужно:

1) Найти её область определения. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения  откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2) Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной, не является ли она периодической.

3) Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения, если такие граничные точки имеются. Если функция имеет точки разрыва, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Найти наклонные асимптоты.

Найти точки пересечения графика с осями координат, что состоит в простом вычислении значения функции при условии:

С осью ОX: y=0;

С осью ОY: x=0.

Нахождение  точек пересечения с осью может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. Отыскав корни функции  и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов.

5)Найти промежутки монотонности. Для этого находят производную и решают неравенство:

 . На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено неравенство , функция убывает.

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума: там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы.

6) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости ведётся с помощью второй производной. Найдя , мы определяем знаки   на интервалах:

если ›0, то кривая графика функции вогнута;

если ‹0, то кривая графика функции выпуклая.

Заодно определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

7) Нахождение точек пересечения графика с асимптотой и дополнительных точек. Этот пункт не носит обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции точки на осях координат и на графике полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять вид графика.

Пример 1.

 Image245имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: Image246; в результате Image247Image248(возвращаемся к исходной переменной) Image249. Другие примеры:
Image250. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись: Image251= Image252Image253

Пример 2.

 Image0 Image254(интеграл №19 из табл.). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: Image255(или Image256, Image257): Image258. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие Image259и Image260через косинус двойного угла: Image261. Image0Поэтому Image262Image263
Image264.
Пример 3.

dx==dt=dt=+С=

1.3 Интегирование по частям:

Производится по формуле :

Пример 4.

==x· =x·

Пример 5.

== =

Пример 6.

==.

2. Определенный интеграл, его свойства и вычисление

2.1. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

= F(a)-F(b)

 - соответственно верхний и нижний пределы интегрирования, они пишутся и читаются снизу вверх, а в формулу подставляются сверху вниз!)

Основные свойства определенного интеграла:

При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:

 

Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Пример 1.

==27-8=19.

2.2 Вычисления определённого интеграла методом введения новой переменной.

Пример 2.

====

Пример 3.

= - =-()=-

1.3 Вычисление определенного интеграла по частям:

Используем формулу:

-

Пример 4.

=-+=()+-1-1=-2;

Пример 5.

=-6xctgx  +=-6·-6·+ln|sinx|+ ln|sin|- ln|sin|= π+ ln1- ln= π+ 0+ln2= π+ln2

1. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу: 

 

 Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем


 Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе  нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В  единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать   по второй строке:

 

 

Таким образом окончательно получим

 

2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

 

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

 

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

 

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)


Пример 1.

Решить систему уравнений

Решение. Вычислим главный определитель матрицы системы уравнений:

∆==2·3·1+1·(-2)·1+3·1·(-1)-1·3·(-1)-3·1·1-2·1·(-2)=5.

Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти с помощью формул Крамера.

Вычислим вспомогательные определители системы:

==15; ==5; ==10;

По формулам Крамера находим:

=;==

Ответ: (3;1;2)

Решение типового варианта

Пример 1. Даны векторы ,,, в некотором базисе. Показать, что векторы , ,  образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Для того, чтобы три вектора могли образовывать базис пространства , необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Это значит, определитель, столбцами которого являются координаты векторов системы, должен быть отличен от нуля.

Вычислим определитель D системы.

.

Вывод: векторы , ,  линейно независимы и образуют базис в .

Разложение вектора по базису , ,  в векторной форме имеет вид:

,

где х1, х2, х3 – искомые координаты вектора в данном базисе.

В координатной форме это разложение имеет вид:

(24;20;6)= х1(2;4;1)+х2(1;3;6)+х3(5;3;1)

или

(24;20;6)=(2х1+х2+5х3;4х1+3х2+3х3;х1+6х2+х3).

  В левой и правой частях полученного равенства стоят два вектора. Они равны и поэтому равны их одноименные координаты. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Систему решаем по формулам Крамера. Для этого, кроме определителя D, вычисляем D1, D1, D3, полученные из определителя D заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов системы.

Координаты вектора определяются по формулам:

; .

Таким образом, разложение вектора по базису , , имеет вид: или (2;0;4).

Проверка. Подставим в правую часть полученного разложения координаты векторов , , :

=2(2;4;1)+4(5;3;1;)=(4;8;2)+(20;12;4)=(24;20;6)= .

Получили координаты вектора . Значит, разложение вектора  по базису , ,  найдено верно.

 Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(10;6;6), B(-2;8;2), C(6;8;9), D(7;10;3).

Найти:

Длину ребра АВ;

Угол между ребрами АВ и АD;

Уравнение прямой АВ;

Уравнение плоскости АВС;

Угол между ребром АD и гранью АВС;

Площадь грани АВС;

Объем пирамиды;

Уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Сделать чертеж.

Решение:

1) Если ребро АВ обозначить за вектор , то длина ребра - это длина вектора. Находим координаты вектора :

=(-2-10;8-6;2-6)=(-12;2;-4).

Если =(х;у:z), то его длина .

Следовательно,

.

2) Угол между ребрами АВ и АD – это угол между векторами  и . Находим координаты вектора .

=(7-10;10-6;3-6)=(-3;4;-3).

Из пункта 1) нам известны координаты вектора =(-12;2;-4). Угол между двумя векторами находится по формуле:

.

Если векторы  и  имеют координаты =(х1;у1:z1), (х2;у2:z2) соответственно, то эта формула перепишется в виде:

.

Следовательно, получаем

Итак, .

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) имеет вид:

или равносильное ему уравнение:

,

где =(l,m,n) – координаты направляющего вектора прямой М1М2.

Направляющий вектор прямой – это вектор, параллельный прямой. В нашем случае прямая проходит через точки А(10;6;6) и В(-2;8;2).Следовательно, уравнение прямой АВ:

.

Итак, каноническое уравнение прямой АВ:

где направляющий вектор

4) Уравнение плоскости по трем точкам находится по формуле:

(*)

где А(х1;у1;z1); В (х2;у2;z2); С(х3;у3;z3) – точки, через которые проходит плоскость. Подставляя координаты точек А, В, С в формулу (*), получим:

.

Считаем определитель, разложив его по первой строке.

D=а11А11+а12А12+а13А13,

 где - алгебраические дополнения элементов , а Мi j – минор элемента . Минором элемента матрицы называется определитель, получаемый (вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых он расположен) из данного. Следовательно,

.

Итак, уравнение плоскости АВС:

.

5) Требуется найти угол между ребром АD и гранью АВС. Это равносильно нахождению угла между прямой АD и плоскостью АВС. Угол между прямой   и плоскостью Ах+Ву+Сz+D=0 определяется по формуле:

,

  где - координаты нормального вектора плоскости АВС.

  - координаты направляющего вектора прямой АD.

Находим уравнение прямой АD по двум точкам:

.

Следовательно,

АD :.

Т.к. уравнение плоскости АВС: , то ее нормальный вектор .

Значит,

.

.

6) Площадь грани АВС – это площадь треугольника АВС. Если треугольник построен на векторах и , то его площадь считается по формуле:

.

Из пункта 1) имеем =(-12;2;-4).Находим координаты вектора .

=(6-10;8-6;9-6)=(-4;2;3).

Далее необходимо найти векторное произведение .Составляем определитель и вычисляем его, раскладывая по первой строке.

находим длину полученного вектора:

.

Следовательно,

.

7) Объем пирамиды равен  объема параллелепипеда, построенного на векторах ,,. Координаты этих векторов найдены ранее: , , .

Следовательно, .

8) Грань АВС имеет нормальный вектор . Для того, чтобы составить уравнение высоты, надо знать направляющий вектор той прямой, где лежит высота. Т.к. DH ^ ABC (DH-высота), то (-параллелен прямой DH, а - перпендикулярен АВС). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой DH можно взять нормальный вектор плоскости АВС. Т.е. . Уравнение высоты имеет вид:

.

Итак, получили уравнение высоты DH:

.

Пример 3. Даны вершины треугольника А(1;-1), В(-2;-6), С(-6;3). Требуется: 1) вычислить длину высоты и медианы, проведенной из вершины В; написать их уравнения; 2) написать уравнения прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС; 3) найти угол между прямыми АВ и АС; 4) найти точку В1 симметричную точке В относительно прямой АС.

Решение:

1.а) Составим уравнение медианы, проведенной из вершины В. Пусть М – середина АС. Найдем её координаты:

.

Уравнение прямой по двум точкам находится по формуле:

.

BМ:  Þ Þ.

Приведем это уравнение к общему виду прямой.

-14(х+2) = у+6 Þ  -14х-28= у+6 Þ ВМ: 14х+у+34=0.

(Общий вид прямой А х + В у+С=0).

Длину медианы ВМ вычисляем по формуле: .

Тогда

1.б) Составим уравнение стороны АС – основания высоты ВН по известным двум точкам

АС:   Þ Þ.

Приведем это уравнение к общему виду прямой.

4(х-1) = -7(у+1) Þ  4х-4= -7у-7 Þ АС: 4х+7у+3=0.

Угловой коэффициент этой прямой . Две прямые перпендикулярны, если: . Т. к. АС ^ ВН, то .

Составим уравнение высоты ВН, зная, ее угловой коэффициент и точку В.

.

  Þ 4(у+6)=7(х+2) Þ 4у+24=7х+14.

ВН: 7х-4у-10=0.

Вычислим длину высоты ВН, как расстояние от точки В до прямой АС, по формуле . Тогда получим

2) Известно, что если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты совпадают. Следовательно, т. к BL|| AC ,то .

 Составляем уравнение прямой BL, зная ее угловой коэффициент  и точку B(-2;-6), через которую проходит эта прямая, т. е.

.

Þ7у+42=-4х-8Þ BL: 4х+7у+50=0.

3) Найдем угол между прямыми АВ и АС. Составим уравнение прямой АВ по известным двум точкам

Þ. 5(х+2) = 3(у+6) Þ 5х+10= 3у+18 Þ  АВ: 5х-3у-8=0.

Угловой коэффициент АВ: . Знаем, что .

Воспользуемся формулой

.

Для данного случая

.

4) Из п.1.б) известны уравнения стороны АС: 4х+7у+3=0 и высоты ВН: 7х-4у-10=0. Найдем точку их пересечения:

.

  - точка пересечения стороны АС и высоты ВН. Эта же точка является серединой отрезка ВВ1. Зная формулы координат середины отрезка

,

выведем формулы

Для данного случая получаем:  Окончательно имеем: .

Математика примеры решения задач