Математика Пример решения типового задания

Информатика
Туризм
Термех
Карта

 

Пример решения типового задания

Пример 1. Написать уравнения касательной и нормали к гиперболе   в точке , в которой касательная параллельна прямой

 Пример 5. Вычислить .

 Пример 1. В каких точка парабола   имеет наибольшую и наименьшую кривизну? Найти центр и радиус кривизны в этих точках.

Пусть дана функция . Находим область определения .

 Пример 2. Исследовать функцию , построить график функции, а также графики  и 

Пример 12. Найти длину дуги кривой

Предел последовательности

Пример 4. Найти предел .

Пример 7. Найти предел 

Пример 16. Последовательность  определяется следующим образом

 Пример 18. Найти предел .

Пример 25. Вычислить предел функции .

Пример 29. Вычислить предел функции

Пример 38. Доказать, что функция  непрерывна в точке а=2(найти ).

 

Написать уравнения сторон АВ и АС и найти их угловые коэффициенты

Найти координаты центра тяжести треугольника

Составить уравнение прямой проходящей через точку С параллельно прямой АВ

Постановка задачи: Вычислить предел , где

 - бесконечно  большая последовательность порядка  и 

 - бесконечно большая последовательность порядка  (, IR).

Постановка задачи: вычислить предел числовой последовательности

Постановка задачи: Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что

Постановка задачи: Пользуясь определением, доказать, что функция   непрерывна в точке .

Постановка задачи: Вычислить предел функции, где  и  бесконечно малые функции при , содержащие линейное выражение под знаком радикала.

Постанова задачи: Вычислить предел , где  и  бесконечно малые функции при

Постановка задачи: Вычислить предел , где ,

Вычислить предел функции: .

Решение. Здесь имеем неопределенность вида , и предел сводится ко второму замечательному пределу.

Исследовать функцию и построить ее график.

Практикум по решению задач Найти и изобразить область определения функций:

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА. Практикум по решению задач

Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Вычислить , где  

Вычислить тройной интеграл  , где .

 

Решение типового варианта контрольной работы

Задача №1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Н

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №3. К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола, парабола

Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

Задача №5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами

Методические указания и решения задач самостоятельной расчетно-графической работы

Построить график функции с полным исследованием.

Исследование функции с использованием производной первого порядка

Вычислить: . Решение: Этот интеграл вычислим методом интегрирования по частям по формуле

Задание Решение: По условию задачи требуется вычислить площадь фигуры, ограниченную графиками данных функций.

Методические указания и решения примерных задач контрольной работы

II способ решения метод подстановки: метод Бернулли

Получим знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

Подинтегральную функцию надо разложить в степенной ряд

Находим частные производные первого порядка

Найти . Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.

Задана функция  и два значения аргумента .

Решение типового варианта Пример. Найти производные заданных функций

Найти дифференциал функции  , если .

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке

Интегральное исчисление функции одной переменной

Задание: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость

Задача. Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования .

Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:  где

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение типового варианта контрольной работы. Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования

Решение типового варианта контрольной работы. Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

Пример2. Найти область сходимости ряда .

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах Задача 1. Вычислить , если область  ограничена линиями .

 Задача 3. Дан двойной интеграл:. Восстановить область интегрирования  и изменить порядок интегрирования.

Задача 5. Вычислить двойной интеграл , если  ограничена окружностью .

Приложения двойного интеграла Вычисление площадей плоских фигур

 Задача 9. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом  и плоскостями 

Вычисление физических характеристик плоских фигур Масса плоской пластинки σ с переменной плотностью  :

Тройной интеграл

 Задача 14. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидами ,  и плоскостями  

Вычисление физических характеристик пространственных фигур Масса тела  с переменной плотностью :

Пример 1. Вычислить интеграл , где .

Пример 5. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(1,1).

Пример 8. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Пример 2. Вычислить , где D ограничена кривыми , ху=1, ху=5.

Переход к полярным координатам в двойном интеграле

Пример 2. Вычислить , если область D ограничена окружностью , лежащей в первой четверти, и прямыми y=x и .

Пример 4. В двойном интеграле  перейти к полярным координатам и расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена линиями

Геометрические приложения двойного интеграла Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z=0, y+z=2 и цилиндром .

Пример 1. Найти массу круглой пластины D  с поверхностной плотностью ρ(х,у)=3-х-у.

Пример 3. Найти координаты центра тяжести однородной пластины плотности , ограниченной параболой и прямой х+у=2.

Тройной интеграл в декартовых координатах Пример 1: Вычислить интеграл , где G – область, ограниченная плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.

Пример 2: Вычислить интеграл , если область G ограничена гиперболическим параболоидом z=xу и плоскостями x+y=1 и z=0 (z>0).

Замена переменных в тройном интеграле Пример 1: Перейти к новым координатам и расставить пределы интегрирования в интеграле , где G- объем, ограниченный поверхностями x+y=1, x+y=-1, x-y=1, x-y=-1, z=0, z=x2+y2.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах Пример 1: Перейти к цилиндрическим координатам и вычислить тройной интеграл , где G- объем, ограниченный цилиндром x2+y2=1 и плоскостями x+y+z=2 и z=0.

Пример 3: Вычислить тройной интеграл , где область G ограничена плоскостью у=2 и параболоидом 2у =x²+ z².

Пример 1: Вычислить , где G – шар .

Пример 4: Перейти к сферическим координатам и вычислить , где G- объем, ограниченный поверхностями x2+y2=z2, x2+y2+z2=a2, z=0, x=0, y=0

Приложения тройного интеграла.

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА МATHCAD ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЗАДАЧА. Вычислить тройной интеграл

Пример. Найти частные производные функции .

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) Пример. Найти работу силы  при перемещении по линии  от точки  к точке .

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Пример. Рассмотрим ряд

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Кратные интегралы Двойной интеграл Пример. Переход к полярным координатам.

 

Математика примеры решения задач