Электротехника Контрольная работа

Электрические цепи однофазного синусоидального тока. Комплексный метод расчёта электрических цепей. Баланс мощностей в цепях однофазного синусоидального тока.

Основные теоретические положения

Электрический ток и напряжение, изменяющиеся во времени по какому–либо закону, называют переменными.

Если форма кривой переменного тока и напряжения повторяется через равные промежутки времени, то их называют периодическими.

Наименьшее время, через которое повторяется форма переменного тока и напряжения, называют периодом, обозначают   и измеряют в секундах.

Число периодов  в 1 секунду называют частотой   переменного тока и напряжения, размерность частоты в единицах СИ: 1 Герц [Гц].

.

Простейшими периодическими переменными током и напряжением являются вырабатываемые генераторами всех видов электростанций напряжение и токи синусоидальной формы:

Напряжение:

,

,

где:

,  – мгновенные значения тока и напряжения;

,  – амплитудные значения тока и напряжения;

,  – начальные фазы тока и напряжения;

 – угловая частота, (единица измерения ).

Разницу начальных фаз напряжения и тока обозначили  и назвали углом сдвига фаз.

Для расчёта цепей синусоидального тока применяется метод комплексных амплитуд (символический метод расчёта), основанный на использовании теории комплексных чисел.

Из курса «Высшая математика» известно, что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси (рис. 6.1).

Рис 6.1

 (В теории электрических цепей буква   обозначает ток, поэтому за признак мнимости принята буква  (), а само комплексное число обозначается или точкой поверх буквы или подчёркиванием буквы снизу: , ): , ,

где  – модуль;  – аргумент или фаза комплексного числа.

Синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется максимальным или действующим его значением, а направление – её начальной фазой. Положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов (против часовой стрелки).

Синусоидальный ток в однородных идеальных элементах: резисторе, индуктивности, ёмкости. Временные и векторные диаграммы.

а) Синусоидальный ток в активном сопротивлении

б) Синусоидальный ток в индуктивности

в) Синусоидальный ток в ёмкости

Если , то комплекс амплитудного и действующего значений запишется соответственно: , .

Если задан комплекс действующего значения напряжения , то его мгновенное значение имеет вид: .

Баланс мощностей в цепях переменного тока

Комплексной мощностью   называется произведение комплекса действующего значения напряжения  на сопряжённый комплекс действующего значения тока .

Знак мнимой части сопряжённого комплекса изменён на обратный (  ) знак заданного комплексного числа (пример: , )).

Пусть на участке электрической цепи известно напряжение , ток . Сопряжённый ток равен: .

Тогда полная комплексная мощность   данного участка равна:

,

где  – сдвиг фаз между напряжением и током.

, [Вт] – активная мощность участка,

, [ВАр] – реактивная мощность участка.

Знак «+» перед  соответствует индуктивному характеру сопротивления , знак «–» соответствует ёмкостному характеру .

При выполнении условия баланса мощностей активная и реактивная мощности источников питания должны равняться потребляемым активной и реактивной мощностям.

Мощности источника Э.Д.С. определяем по формуле:

,

где  – сопряжённый комплекс тока в ветви с источником Э.Д.С.

Мощность источника тока:

,

где  – напряжение на зажимах источника тока;

 – сопряжённый ток источника тока.

Мощность источника Э.Д.С. входит в выражение баланса со знаком «+», если направление Э.Д.С. источника и тока в этой ветви совпадают; если направления Э.Д.С. источника и тока не совпадают, то мощность источника Э.Д.С. отрицательная.

Мощность источника тока входит в выражение баланса со знаком «+», если ток источника и напряжения на его зажимах направлены навстречу друг другу. При совпадении направлений тока источника и напряжения мощность источника отрицательная.

Активная и реактивная мощности потребителей равны соответственно:

, [Вт],

где  – модуль действующего значения тока i–ой ветви.

, [ВАр],

где  – эквивалентное реактивное сопротивление i–ой ветви.

При выполнении условия баланса мощностей:

;

.

Примеры расчёта цепей однофазного синусоидального тока

Пример 6.1

Дано: , , ,

Определить токи в ветвях, составить и рассчитать баланс мощностей для схемы на рис. 6.1.

Рис. 6.1

Решение

Для расчёта будем использовать метод контурных токов.

Значение контурного тока   принимаем равным величине источника тока . Уравнение составляем для контурного тока :

.

Выражаем ток  из предыдущего уравнения:

.

Ток в третьей ветви равен контурному току , . Запишем этот ток в показательной форме комплексного числа:

.

Ток во второй ветви определим как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих через данную ветвь:

.

Полная мощность приёмников определяется по формуле:

.

Активную мощность приёмников в данной схеме определим по следующей формуле:

.

Реактивную мощность приёмников определяем по формуле:

.

Полная мощность, выделяемая в систему источниками, определяется по формуле:

,

 где

.

Вывод:

;

.

Выполнение баланса мощностей подтверждает правильность решения задачи.

Ответ: ; .

Электротехника ТОЭ типовые задания примеры Лабораторные