Задачи построений сечений многогранников

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

История искусства
Стили в архитектуре и дизайне
История дизайна
Электротехника
Курсовой расчет
ТОЭ типовые задания примеры решения задач
Линейные цепи постоянного тока
Комплексный метод расчета
цепей синусоидального тока
Электрические цепи с
взаимной индуктивностью
Расчет неразветвленных
магнитных цепей
Электромагнитные устройства
Трансформаторы
Однофазный асинхронный двигатель
Электронно-оптические приборы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Измерение тока и напряжения
Работа электрической машины
постоянного тока в режиме генератора
Генераторы
Лабораторные работы
Контрольная работа
Конспект лекций
Графика
Начертательная геометрия
Решение практических задач
Математика
Методические указания к выполнению
контрольных работ
Решение линейных дифференциальных
уравнений
Поверхности второго порядка
Интегрирование
Предел
Линейная функция
Матрица
Физика
Оптика лекции и примеры решения задач
Электростатика
Туриcтические
достопримечательности
Мексика
Биосферный резерват Сиан-Каан
Ольмеки
Пуэбла-де-Сарагоса
Великая Пирамида Чолула
Кафедральный собор Успения
Пресвятой Богородицы в Мехико
Замок Чапультепек (Castillo de Chapultepec)
Памятник героям независимости
Пирамида Солнца
Францисканские миссии в Сьерра-Горде
Церковь Святого Михаила Архангела
Достопримечательности
Гуанахуато Ла Валенсиана
Алхондига де Гранадитас
Иконографический музей Дон Кихота
Белгород
экскурсия по центральной части г. Белгорода

Смоленский собор

Белгородский государственный
академический театр
Свято-Троицкий бульвар
Санкт Петербург

Мосты Санкт-Петербурга

Троицкий мост
Банковский мост с четырьмя грифонами
Демидов мост через канал Грибоедова
Виды и организация туризма
Культурно-познавательный туризм
Деловой туризм.
Рекреационный туризм
Образовательный туризм
ШОП-ТУР
Религиозный туризм
Экологический туризм
Приключенческий туризм
тур «Затерянный город» в Таиланде
Анимация – новое направление в туризме
Сельский туризм
Горнолыжный туризм
Культурное наследие народов Майя
САМЫЕ РАННИЕ МАЙЯ
ПОСЕЛЕНИЯ РАННЕАРХАИЧЕСКОГО
ПЕРИОДА
ПОЯВЛЕНИЕ КУЛЬТУРЫ МАЙЯ
расцвет культуры «мирафлорес»
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ МАЙЯ.
КУЛЬТУРА «ТСАКОЛ»
В позднеклассический период искусство майя
ИЦЫ И ГОРОД МАЙЯПАН
МАЙЯ-МЕКСИКАНСКИЕ ДИНАСТИИ
В ЮЖНОЙ ОБЛАСТИ
Государство древних майя
МИРОВОЗЗРЕНИЕ МАЙЯ
Диего де Ланда
Развитие туризма в
Новосибирской области

Туристические фирмы

Для отдыхающих в Краснозерском районе

Колыванский район

Памятники археологии

 

Область сходимости степенного ряда

Областью сходимости степенного ряда

является интервал сходимости , включая, возможно, и концы этого интервала.

Радиус сходимости находится по формуле

.

Внутри интервала сходимости  ряд абсолютно сходится, вне интервала – расходится (рис. 1).

 


На концах интервала, при  и , ряд надо исследовать на сходимость отдельно.

Если  , то ряд сходится абсолютно при всех , т.е. на всей числовой прямой; при  ряд сходится в единственной точке  .

Если степенной ряд записан по степеням :

,

то внутри интервала сходимости  надо заменить на :

,  т.е. .

При значениях  ряд надо исследовать на сходимость отдельно.

 

 

Пример.  Найти область сходимости ряда

  ,

 – коэффициент при :

.

,

.

Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:

 ряд расходится.

  :  ряд расходится.

Концы интервала в область сходимости не входят.

.

 

 

К задачам 361 − 370.

Представление определённого интеграла числовым рядом

Чтобы определённый интеграл  представить числовым рядом, нужно подынтегральную функцию y = f (x) разложить в ряд Маклорена:

а затем почленно проинтегрировать полученный степенной ряд на отрезке . Если степенной ряд сходится при , то полученный после интегрирования числовой ряд тоже сходится, и его сумма будет равна . При решении этой задачи можно использовать известные ряды Маклорена для элементарных функций, а именно:

Пример. Представить определённый интеграл  числовым рядом.

Решение. Запишем ряд Маклорена для функции  , используя ряд Маклорена для функции  при  .

Подставим  t = x2 , получим ряд Маклорена для подынтегральной функции :

  .

Полученный степенной ряд сходится при  , значит левую и правую часть последней формулы можно проинтегрировать на отрезке , получим:

 

 

К задачам 371 − 380.

Ряд Фурье

Ряд Фурье для периодической функции   с периодом  имеет вид

,

,

,

.

Значение   в коэффициентах Фурье  надо выбрать так, чтобы на отрезке интегрирования   была известна формула для функции .

Перед тем как разлагать функцию в ряд Фурье, надо построить график функции и из графика определить, не является ли функция четной или нечетной.

 

 

Ряд Фурье для четной функции

Функция   называется четной, если . График четной функции симметричен относительно оси .

Ряд Фурье для четной функции имеет вид

 ,

.

Ряд Фурье для нечетной функции

Функция  называется нечетной, если . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

,

.

 

 

Пример.  Разложить в ряд Фурье функцию

.

 


.


График функции симметричен относительно начала координат (рис. 2). Функция нечетная: .

.

,  т.к.

 при 

.

 

 

К задачам 381 − 390.

Двойные интегралы

Двойной интеграл можно вычислить двумя способами:

Подпись:  Подпись: yПодпись: DПодпись:  Подпись: y .

Подпись: б)Подпись: a)Подпись: 0Подпись: DПодпись:  Подпись:  Подпись:  Подпись: xПодпись:  Подпись: bПодпись: aПодпись:  Подпись:  Подпись: 0

В первом случае область  лежит между вертикальными прямыми  и , а снизу и сверху ограничена линиями  и  (рис. 3, а).

Во втором случае надо провести горизонтальные прямые  и , между которыми лежит область , а  и  – уравнения линий, ограничивающих область  слева и справа (рис. 3, б).

Площадь плоской области

Если взять , то двойной интеграл дает площадь области интегрирования  :

.

 

 

Двойной интеграл в полярных координатах

Примеры. Вычислить площадь области, ограниченной данными линиями, с помощью двойного интеграла.

1) 

Область   ограничена сверху двумя линиями ( и ). Поэтому через точку А проведем вертикальную прямую и разобьем область на две области (рис. 6).

.

 
 


 
2) .

 Заданная область изображена

 на рис. 7.

 
 


.

 

 

Объём тела

Если функция z = f (x ; y) непрерывна и неотрицательна на области D, то объём тела, ограниченного поверхностью, заданной функцией z = f (x , y) , плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Oz и проходящими через граничные точки области D, равен двойному интегралу .

  При нахождении объёма тела, ограниченного данными поверхностями, нужно найти проекцию этого тела на координатную плоскость Oxy, т.е. найти область D, затем найти функцию z = f (x , y) и вычислить двойной интеграл . Если область D – часть круга, то при вычислении двойного интеграла следует перейти к полярным координатам. Если тело ограничено сверху двумя поверхностями (см. пример 382), то его нужно разбить на две части так, чтобы каждая часть была ограничена сверху только одной поверхностью. Объём каждой части нужно вычислить с помощью двойного интеграла, а затем сложить результаты.

Пример. С помощью двойного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями , y = 0, z = 0 и x + y + z = 2.

Решение. Уравнения  и y = 0 не содержат переменной z, они задают цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси Oz. Плоскости z = 0 и x + y + z = 2 ограничивают данное тело соответственно снизу и сверху, пересекаются по прямой x + y = 2 в координатной плоскости Oxy. Значит, область D (проекция данного тела  на координатную плоскость Oxy) будет ограничена линиями ,  y = 0 и x + y = 2.

Построим область D (рис. 8). Заметим, что линии   и x + y = 2 пересекаются в точке А(1; 1).

Из уравнения x + y + z =2 находим  z = 2 – x – y , т.е. f (x, y) = 2 – x – y.

 

.

  Ответ: 0,85.

 

 

Вычисление криволинейного интеграла

по плоской кривой

Криволинейный интеграл по плоской кривой

сводится к определенному интегралу, если из уравнения кривой   выразить одну координату через другую, например,

и результат подставить в криволинейный интеграл. Пределы интегрирования –   и .

Для горизонтальной прямой  , для вертикальной – , .

Формула Грина

Формула Грина

выражает циркуляцию векторного поля  по замкнутому контуру (криволинейный интеграл по замкнутому контуру) через двойной интеграл по области , ограниченной этим контуром.

Пример. 

Вычислить 

где   есть треугольник ;

а) непосредственно и б) по формуле Грина.

 


.

а)  ,

,

,

  .

 


б)

.

.

.

 .

Или

.

 

 

 

Вычисление криволинейного интеграла по пространственной кривой

Пусть задано векторное поле

.

Криволинейный интеграл по пространственной кривой

сводится к определенному интегралу, если в уравнениях кривой   две координаты выразить через третью, например,

и результат подставить в криволинейный интеграл.

  – пределы интегрирования в определенном интеграле.

Вводятся следующие понятия.

Оператор Гамильтона – символический вектор  (набла):

;

дивергенция вектора  – функция

;

ротор вектора  – векторное произведение векторов  и :

.

Если  , то поле   называется соленоидальным, если   – потенциальным.

Потенциал векторного поля 

Если ,  то поле  является потенциальным,  т.е. существует потенциал вектора  – функция , удовлетворяющая условию

,

т.е.

.

Чтобы найти потенциал , нужно вычислить криволинейный интеграл

по любой линии, соединяющей точки  и в окончательном ответе  заменить малыми буквами .

В качестве линии интегрирования удобно взять ломаную, звенья которой параллельны осям координат, а за точку  выбрать начало координат , если поле  определено в этой точке.

Запишем уравнения звеньев ломаной и найдем дифференциалы функций, полученных из уравнений звеньев.

 

z

 

y

 

О

 

C

 

B

 

x

 

Рис. 11

 

 

 

Пример.  Показать, что векторное поле

является потенциальным и найти его потенциал .

.

.

.

.

.

.

В функцию  можно добавить произвольную постоянную .

Проверка:

.

.

.

Построения на изображениях

В этом параграфе рассматриваются задачи построений сечений многогранников. При этом, безусловно, все построения будут проводиться на изображении многогранника и, соответственно, строиться изображение сечения. Способы задания плоскости в таких задачах могут быть различными: с помощью трех точек, точки и условия параллельности какой-либо плоскости, двух параллельных прямых и т. д. Рассмотрим одну типичную задачу.

Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами , плоские углы при вершине трехгранного угла называются его гранями . Грани трехгранного угла образуют двугранные углы Параллелепипед

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием , – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой .

Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны.

Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета Интегрирование функций нескольких переменных Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы

Конические сечения – плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Примеры решения типовых задач: матрицы

За исключением вырожденных случаев, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (IV в. до н. э.). Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце IV в. до н. э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые «Конические сечения» Аполлония Пергского, которые сохранились до нашего времени. Аполлоний, варьируя угол наклона секущей плоскости, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1  и  F 2, то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малой осями . Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O , называется сферой Касания круглых тел с прямой и плоскостью Плоскости, равноудаленные от центра сферы, пересекают ее по равным окружностям

Прямая, касающаяся сферы – это прямая, которая имеет единственную общую точку со сферой. Аналогично можно ввести понятие касательной прямой к поверхности конуса (цилиндра) , однако при этом рассматриваются прямые, не проходящие через точки на основании конуса (цилиндра) и через вершину конуса.

Выпуклый многогранник называется вписанным , если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника Выпуклый многогранник называется описанным , если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды

Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен где S – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.

Поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии.

Свойства гиперболического параболоида. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число. Гиперболический параболоид обладает осевой симметрией относительно оси Oz , плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz . В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz , получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy , – парабола.

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.

Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов

Пример . Найти произведение матриц

Пример . Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1, Т 2, Т 3, Т 4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Определители Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего Свойства определителей

Пример . Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю. Пример . Вычислить определитель

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A).

Пример . Найти методом окаймления миноров ранг матрицы . Обратная матрица Для матрицы найти обратную.

Критерий совместности Кронекера-Капелли Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Формулы Крамера

Показательная функция Упростите выражение Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию f  ( x ) = tg  x для Пример Докажите тождество Уравнения, содержащие модуль

Математика примеры решения задач