Математика Линейная функция

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

История искусства
Стили в архитектуре и дизайне
История дизайна
Электротехника
Курсовой расчет
ТОЭ типовые задания примеры решения задач
Линейные цепи постоянного тока
Комплексный метод расчета
цепей синусоидального тока
Электрические цепи с
взаимной индуктивностью
Расчет неразветвленных
магнитных цепей
Электромагнитные устройства
Трансформаторы
Однофазный асинхронный двигатель
Электронно-оптические приборы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Измерение тока и напряжения
Работа электрической машины
постоянного тока в режиме генератора
Генераторы
Лабораторные работы
Контрольная работа
Конспект лекций
Графика
Начертательная геометрия
Решение практических задач
Математика
Методические указания к выполнению
контрольных работ
Решение линейных дифференциальных
уравнений
Поверхности второго порядка
Интегрирование
Предел
Линейная функция
Матрица
Физика
Оптика лекции и примеры решения задач
Электростатика
Туриcтические
достопримечательности
Мексика
Биосферный резерват Сиан-Каан
Ольмеки
Пуэбла-де-Сарагоса
Великая Пирамида Чолула
Кафедральный собор Успения
Пресвятой Богородицы в Мехико
Замок Чапультепек (Castillo de Chapultepec)
Памятник героям независимости
Пирамида Солнца
Францисканские миссии в Сьерра-Горде
Церковь Святого Михаила Архангела
Достопримечательности
Гуанахуато Ла Валенсиана
Алхондига де Гранадитас
Иконографический музей Дон Кихота
Белгород
экскурсия по центральной части г. Белгорода

Смоленский собор

Белгородский государственный
академический театр
Свято-Троицкий бульвар
Санкт Петербург

Мосты Санкт-Петербурга

Троицкий мост
Банковский мост с четырьмя грифонами
Демидов мост через канал Грибоедова
Виды и организация туризма
Культурно-познавательный туризм
Деловой туризм.
Рекреационный туризм
Образовательный туризм
ШОП-ТУР
Религиозный туризм
Экологический туризм
Приключенческий туризм
тур «Затерянный город» в Таиланде
Анимация – новое направление в туризме
Сельский туризм
Горнолыжный туризм
Культурное наследие народов Майя
САМЫЕ РАННИЕ МАЙЯ
ПОСЕЛЕНИЯ РАННЕАРХАИЧЕСКОГО
ПЕРИОДА
ПОЯВЛЕНИЕ КУЛЬТУРЫ МАЙЯ
расцвет культуры «мирафлорес»
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ МАЙЯ.
КУЛЬТУРА «ТСАКОЛ»
В позднеклассический период искусство майя
ИЦЫ И ГОРОД МАЙЯПАН
МАЙЯ-МЕКСИКАНСКИЕ ДИНАСТИИ
В ЮЖНОЙ ОБЛАСТИ
Государство древних майя
МИРОВОЗЗРЕНИЕ МАЙЯ
Диего де Ланда
Развитие туризма в
Новосибирской области

Туристические фирмы

Для отдыхающих в Краснозерском районе

Колыванский район

Памятники археологии

 

Решение линейных дифференциальных уравнений и систем операционным методом

1)  Пусть требуется решить дифференциальное уравнение

при начальном условии .

Обозначим , тогда .

Найдем изображение левой и правой частей данного уравнения:

.

Получим уравнение 1-ой степени относительно . Решив его, найдем . Зная , находим его оригинал . Это и есть искомое частное решение.

2) Рассмотрим линейное уравнение 2-го порядка.

при начальных условиях .

Обозначим 

тогда 

.

Найдем изображение обеих частей данного уравнения:

.

Из полученного уравнения находим  и затем  – искомое решение.

3) Система линейных уравнений имеет вид:

Начальные условия: .

Обозначим   и найдем изображения обеих частей каждого уравнения системы. Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, найдем  и , а затем их оригиналы  и . Это и будет искомое решение.

 

 

Пример.  Решить дифференциальное уравнение

при начальных условиях .

Обозначим  тогда 

.

,

,

,

.

Знаменатель  имеет два корня  и . Подставляя в последнее равенство , получим, что ; подставляя , получим, что . Коэффициенты В и С найдем из системы, полученной приравниванием коэффициентов при  и при .

 

Теперь находим оригинал для функции :

.

Ответ. .

 

 

Контрольная работа №6

Для решения дифференциального уравнения 1-го порядка  нужно сначала определить его тип, чтобы выбрать правильный метод решения. Разберем методы решения трех важнейших типов уравнений 1-го порядка.

1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида .  Для нахождения общего решения нужно разделить переменные, то есть привести уравнение к виду  и проинтегрировать это равенство:

.

Пример. Покажем, как решается уравнение . Заметим, что если в левой части уравнения оставить только , то правая часть уравнения раскладывается в произведение двух множителей, один из которых зависит только от , другой – только от . Запишем  как отношение дифференциалов , получим , откуда . Для разделения переменных делим обе части равенства на , считая, что , откуда  или .

Обозначим  и потенцируем равенство:

,

,

,

.

Если  , то   и . Подставив  в первоначальное уравнение, получим , то есть  является решением нашего уравнения. Оно получится из равенства , если .

Значит, общее решение уравнения имеет вид , где  – произвольная постоянная.

2. Дифференциальное уравнение  называется однородным уравнением 1-го порядка.

Его решение можно найти с помощью введения новой неизвестной функции   по формуле . В случае такой замены имеют место очевидные соотношения .

 

 

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение.  Разделив обе части уравнения на  и на , приведем его к виду

  или .

Правая часть уравнения зависит только от отношения , то есть это однородное уравнение 1-го порядка. Полагаем , получим уравнение

.

Произведем в нем разделение переменных:

,

,

.

(обе части уравнения делим на , считая здесь, что ).

Тогда, ,  откуда, заменяя , найдем   , или . Подставив  и упростив, получим .

Если же , то , и, значит,  и . Подставив  в первоначальное уравнение, получим . Значит,  тоже является решением данного уравнения.

Ответ.  .

3. Уравнение вида  называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение можно найти в виде произведения двух функций, то есть полагая  . Тогда .  Подставляя в уравнение, получим

.

Найдем функцию , удовлетворяющую уравнению . Тогда для функции  получим уравнение . Если  – его общее решение, то общее решение данного линейного уравнения имеет вид .

 

 

Пример. Найти общее решение уравнения  .

Решение. Перепишем уравнение в виде  . Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Ищем решение в виде , тогда . Подставляя в уравнение, получим

.

Для   получим уравнение .  Разделяем в нем переменные и интегрируем:

.

,  или .

Тогда для функции   получим уравнение

,

откуда  . Интегрируем обе части этого равенства: 

.

Тогда  .

Ответ: .

 

 

 

Для решения этих уравнений  нужно знать методы понижения порядка дифференциального уравнения.

1. Если дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит явно функцию , т.е. имеет вид , то полагаем  , где  – функция от . Тогда , и получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка   относительно новой неизвестной функции .

Пример.  Уравнение  не содержит функцию . Обозначим , тогда . Подставляя в данное уравнение, получим . В этом уравнении можно разделить переменные:

,

.

Интегрируя, получим , откуда . Подставив , получим , тогда  и .

2. Если дифференциальное уравнение не содержит явно аргумент , т.е. имеет вид  , то полагаем , где  – функция от .

Тогда .  Получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка  относительно новой неизвестной функции .

 

 

Пример. В дифференциальном уравнении  отсутствует . Обозначим , где , тогда . Получаем уравнение , или .

Если , то , то есть . При  получим уравнение . В нем можно разделить переменные и проинтегрировать:

,

,

откуда  . Подставив здесь , получим . Это тоже дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

,

откуда, интегрируя, найдем соотношение .

Ответ: .

 

 

 

1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка

  ( 1 )

равно сумме общего решения  соответствующего однородного уравнения

и какого-нибудь частного решения  неоднородного уравнения (1), то есть .

2. Если  – числа, то для нахождения  нужно определить корни  характеристического уравнения

.  ( 2 )

Если  действительные не равные друг другу корни , то ; если  , то ; если корни комплексные, , то .

3. Пусть правая часть  данного неоднородного уравнения (1) имеет вид

,

где   – многочлен степени .  Отметим, что при   – константа, а если , то  – многочлен степени . Тогда частное решение  можно найти в виде

,

где   – некоторые коэффициенты, , если число  не является корнем характеристического уравнения (2) (и тогда ), , если один из корней уравнения (2) равен , другой не равен , если оба корня уравнения (2) равны .

Для случая, когда  частное решение  можно найти в виде

,

где   – некоторые коэффициенты;

, если  не является корнем характеристического уравнения (2) (и тогда ),

, если  является корнем уравнения  (2).

Коэффициенты () находят, подставляя функцию  и ее производные в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в обеих частях полученного равенства.

4. Если в правой части уравнения (1) стоит сумма функций различного вида , то частное решение  равно сумме частных решений , где   – решение уравнения   (принцип наложения частных решений).

5. Константы  находят из начальных условий .

 

 

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Запишем характеристическое уравнение , откуда , . Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .

В правой части нашего уравнения стоит сумма двух функций  и . Частное решение , соответствующее правой части , нужно искать в виде , т.к.  – многочлен степени  поскольку число 0 является корнем характеристического уравнения. Частное решение , соответствующее правой части , ищем в виде  (в данном случае , это число не является корнем характеристического уравнения). По принципу наложения частных решений . Находим производные:

,

.

Подставив в данное уравнение, получим

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях. При , при , при , при . Из этой системы уравнений найдем, что  ,  ,  ,  . Подставив эти числа в  и сложив  и , найдем общее решение данного уравнения :

.

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям , дифференцируем :

.

Подставляем   в  и в , получаем:

откуда   и .  Значит,  – искомое частное решение.

К задачам 311 − 320.

Для решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

можно использовать метод исключения неизвестной функции. Если a12¹0, то из первого уравнения можно выразить неизвестную функцию y и подставить во второе уравнение, или наоборот, если a21¹0, то из второго уравнения выразить неизвестную функцию x и подставить в первое. Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решив которое, найдём одну неизвестную функцию. Другую неизвестную функцию находим с помощью формулы, использованной при исключении. Неизвестные функции будут зависеть от двух произвольных постоянных, которые находим из начальных условий.

 

 

Пример. Решить задачу Коши :

  x (0) = − 1 , y (0) = 1.

Решение. Из второго уравнения системы выразим x:

 (1)

и подставим в первое уравнение, исключив неизвестную функцию x.

,

,

.  (2)

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции y. Найдём общее решение этого уравнения.

Запишем характеристическое уравнение: k2 – 4k – 5 = 0. Его корни k1=5, k2= − 1. Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения .

Правая часть дифференциального уравнения (2) имеет вид , где a = 1, n = 1, т.е.  – многочлен первой степени. Значит, частное решение дифференциального уравнения (2) нужно искать в виде , где r = 0, т.к. число a = 1 не является корнем характеристического уравнения (см. указания к задачам 301 – 310). Найдём неопределённые коэффициенты А и В.

,

,

.

Подставляя в дифференциальное уравнение (2) и приравнивая коэффициенты при линейно независимых функциях, получим:

;

;

Таким образом,  − частное решение дифференциального уравнения (2), а  − общее решение этого дифференциального уравнения.

Вторую неизвестную функцию находим по формуле (1).

Запишем общее решение данной системы дифференциальных уравнений:

Из начальных условий находим постоянные c1 и c2.

Ответ. .

 

 

К задачам 321 − 330. 

1. При составлении дифференциального уравнения в задачах с физическим содержанием нужно помнить следующее:

1) скорость изменения некоторой физической величины   – это производная по времени ,  а ускорение – вторая производная ;

2) прямолинейное движение материальной точки массы  подчи-няется второму закону Ньютона  , где  – координата точки в момент времени   – сила, действующая на точку.

2. При составлении дифференциального уравнения кривой используется геометрический смысл производной ( дает нам угловой коэффициент касательной к кривой) или уравнение касательной, проведенной в некоторой точке , где  – координаты точки на касательной.

Пример. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;0) и обладающей тем свойством, что ордината точки пересечения касательной с осью  равна длине радиус-вектора точки касания.

Решение. Пусть искомая линия имеет уравнение , и пусть касательная проведена в некоторой точке  этой кривой. Тогда длина радиус-вектора  будет равна . Положим  в уравнении касательной , тогда  – ордината точки пересечения касательной с осью .  Из условия задачи получаем уравнение .

Перепишем уравнение в виде . Это однородное уравнение 1-го порядка. Положим ,  тогда . Получим дифференциальное уравнение , или . Разделяем переменные и интегрируем:

.

Подставим  :

  или .

Подставив  и , получим  и искомое уравнение . Его можно преобразовать:

.

Ответ:  .

 

 

Контрольная работа № 7

Числовые ряды

К задачам 331 − 340. Числовой ряд

задается несколькими первыми членами или формулой -го члена .

Ряд называется сходящимся, если существует предел -ой частичной суммы:

.

Число   называется суммой ряда.

Если   не существует, то ряд называется расходящимся.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся рядов.

Рассмотрим ряд

 , ( 1 )

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .

Если  , то ряд сходится и его сумма

.

Если  , то ряд расходится.

Ряд

  ( 2 )

называется гармоническим рядом.

Гармонический ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд  сходится, то

.

Если   (необходимый признак не выполняется), то ряд расходится.

Если   (необходимый признак сходимости ряда выполняется), то для исследования ряда на сходимость надо применить какой-нибудь достаточный признак.

 

 

Пример.  Исследовать ряд на сходимость с помощью необходимого признака:

Составим формулу -го члена ряда.Заметим, что числители дробей, как и знаменатели, образуют арифметическую прогрессию.

-ый член арифметической прогрессии

,

где   – первый член,   – разность прогрессии.

Поэтому -ый член ряда

,

.

Необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости ряда

с положительными членами

1. Признак Даламбера

Пусть в ряде с положительными членами

  ,

.

Тогда: а) если  , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится.

При   надо использовать другой признак.

 

 

2. Интегральный признак Коши

Пусть в ряде с положительными убывающими членами

-ый член ряда определяется формулой

,

где  - непрерывная, положительная и убывающая функция на промежутке . Тогда несобственный  интеграл  и числовой ряд  одновременно сходятся или одновременно расходятся.

3. Признак сравнения рядов

Пусть даны два ряда с положительными членами, и члены первого ряда меньше соответствующих членов второго:

  ( 1 )

 ( 2 )

  ( 3 )

Тогда:

1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится,

2)  если ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.

Итак, если члены данного ряда меньше членов сходящегося ряда, то данный ряд тоже сходится. Если члены данного ряда больше членов расходящегося ряда, то данный ряд тоже расходится.

Примеры.  Исследовать ряд на сходимость.

1) 

, функция  является непрерывной, положительной и убывающей на . Применим интегральный признак Коши.

.

Несобственный интеграл  сходится, следовательно, данный числовой ряд сходится.

2) 

.

Используем признак Даламбера. В формуле для  заменим  на :

.

.

,  ряд сходится.

3)  ( 1 )

Сравним ряд (1) с рядом

( 2 )

Мы показали, что ряд (2) сходится по интегральному признаку Коши. Члены ряда (1) меньше членов сходящегося ряда (2). 

По признаку сравнения ряд (1) тоже сходится.

    Прямая пропорциональность Рассмотрим следующую задачу. Мотоцикл движется со скоростью 50 км/ч. Построить график зависимости расстояния, пройденного автомобилем, от времени за первые 6  часов движения.

    Функция y  =  kx  +  b называется линейной функцией . Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y  =  kx на b вверх, если b  > 0, и на | b | вниз, если b  < 0. Кроме того, если k  ≠ 0, то Значит, график функции y  =  kx  +  b получится из графика y  =  kx сдвигом на Уравнение прямой

    Квадратный трехчлен

    Квадратичной называется функция вида y  =  ax 2  +  bx  +  c , где a  ≠ 0, b , c – любые действительные числа. Уравнение ax 2  +  bx  +  c  = 0, где a  ≠ 0, называется квадратным уравнением . График функции при a  ≠ 0 называется параболой . Рассмотрим сначала функцию Областью определения этой функции являются все Решив уравнение получим x  = 0. Итак, единственный нуль этой функции x  = 0. Функция является четной (для любых ось OY является ее осью симметрии.

    Тригонометрическими называются функции вида y  = sin  x , y  = cos  x , y  = tg  x , y  = ctg  x и их комбинации. Дифференциалы высших порядков ФНП Пусть в области , , задана произвольная ФНП , , имеющая непрерывные частные производные первого порядка.

    Синус и косинус Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O , осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A  (0), и осью ординат, проходящей через точку За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M  ( x ) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x : M  ( x ) =  M  (cos  x ; sin  x ). Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора): sin 2   x  + cos 2   x  = 1 Понятие предела функции является одним из самых важных в математике

    Тангенсом угла x называется отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла. Котангенсом угла x называется отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла:

    Обратные тригонометрические функции [an error occurred while processing this directive]

    Дробно-линейная функция

Степенная функция с натуральным показателем непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция Степенная функция с четным показателем необратима

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.

Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится

На промежутке (0; +∞) определена функция, обратная к a x ( a  > 0, a  ≠ 1). Эта функция называется логарифмической : y  = log a   x

Функция называется гиперболическим синусом . Функция называется гиперболическим косинусом .

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.

Графические методы решения задач

Решение неравенств Пусть задано неравенство f  ( x ) > 0 (очевидно, что все неравенства вида h  ( x ) >  g  ( x ) сводятся к рассматриваемому переносом функции g  ( x ) в левую часть). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству. Решение систем уравнений и неравенств

Система уравнений с двумя переменными.

Пусть задана система уравнений Ее решением является совокупность пар чисел ( x i ;  y i ), подстановка которых в каждое из уравнений превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости кривые, задаваемые уравнениями f  ( x ,  y ) = 0 и g  ( x ,  y ) = 0. Тогда можно сказать, что геометрически решением системы уравнений является совокупность всех точек M i ( x i ;  y i ), в которых пересекаются кривые, задаваемые этими уравнениями.

Поскольку каждая геометрическая фигура состоит из точек, можно говорить о точках, принадлежащих геометрической фигуре (то есть о точках, из которых она состоит) и не принадлежащих ей. Для обозначения точек будем использовать заглавные буквы латинского алфавита: A , B , ..., Z , а для обозначения прямой – строчные буквы: a , b , ..., z . Кроме того будем использовать обозначение ( AB ) для прямой, проходящей через две заданные точки A и B Общей точкой прямых a и b называется точка, лежащая на прямой a и одновременно на прямой b . Можно, например, представить две прямые, которые имеют ровно одну общую точку. Такие две прямые называются пересекающимися. Отрезком называется часть прямой, которая содержит две разные точки A и B  этой прямой ( концы отрезка ) и все точки прямой, которые лежат между ними ( внутренние точки отрезка ).

Углом называется фигура, состоящая из точки ( вершина угла ) и двух различных лучей с началами в этой точке – сторон угла

Различные виды углов Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.

Параллельные прямые Две прямые называются параллельными , если они не пересекаются. Cледующая теорема дает достаточные условия параллельности (т.е. условия, выполнение которых гарантирует параллельность) двух прямых. Иначе такую теорему можно назвать признаком параллельности прямых

 

Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами , а отрезки – сторонами треугольника.

Признаки равенства треугольников Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , а третья сторона – основанием . Сумма углов треугольника Треугольник называется прямоугольным , если у него есть прямой угол. Пропорциональные отрезки и средняя линия треугольника Аксиомы позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. До сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника . Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е. Треугольник имеет шесть основных элементов: три угла A , B , C и три стороны a , b , c . Решить треугольник – значит найти все эти шесть элементов. Обычно даны три элемента, среди которых хотя бы один линейный

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром окружности . Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности. Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Дугой окружности , соответствующей центральному углу, называется часть окружности, расположенная внутри центрального угла.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Угол называется вписанным в окружность, если вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на ту дугу окружности , которая не содержит вершину вписанного угла. Так же говорят, что вписанный угол опирается на хорду, соединяющую точки пересечения окружности со сторонами угла.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек, называемых вершинами, и четырех соединяющих их отрезков – сторон. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Высотой параллелограмма , проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a  ||  b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии. Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

В основе изображения фигур на плоскости лежит параллельное проектирование С появлением в стереометрии скрещивающихся прямых возникает вопрос: как определить угол между двумя скрещивающимися прямыми? Изображение многоугольников и многогранников

Математика примеры решения задач