Начертательная геометрия

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

Двуполостный гиперболоид

Определение

Пр.2.6.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида  , называется двуполостным гиперболоидом.


Свойства двуполостного гиперболоида:

1°. Двуполостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что  и не ограничен сверху.

 z

 x y

Рисунок Пр.2.6.1.

2°. Двуполостный гиперболоид обладает:

- центральной симметрией относительно начала координат;

- осевой симметрией относительно всех координатных осей;

- симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3°. В сечении двуполостного гиперболоида плоскостью, ортогональной оси координат , при  получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям  или  - гипербола. (Рис. Пр.2.6.1.)

Поверхности вращения

Пусть некоторая кривая, расположенная в плоскости , имеет уравнение . Если вращать эту кривую вокруг оси , то каждая ее точка будет описывать окружность.


Определение

Пр.2.7.1.

Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется поверхностью вращения.

Пример

Пр.2.7.1.

К поверхностям вращения, например, относятся:

1°. Эллипсоид вращения

.

2°. Конус вращения

.

Замечание: поверхности вращения линии второго порядка не всегда задаются уравнениями второго порядка.

Например, если вращать квадратную параболу  вокруг оси , получается эллиптический параболоид вращения, однако при вращении этой же кривой вокруг оси  получится поверхность вращения, задаваемая уравнением вида  или .

Задача

Пр.2.7.1.

Составить уравнение поверхности вращения, получаемой при вращении линии   вокруг оси .

Решение. Зафиксируем на вращаемой линии точку с координатами . Линия, получаемая при вращении этой точки вокруг оси  в плоскости , есть окружность радиуса , с уравнением .

С другой стороны, , поэтому . Наконец, в силу произвольности точки , выбранной на линии вращения, получаем, что уравнение поверхности вращения - эллиптического параболоида есть .

Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач