Начертательная геометрия

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

Двуполостный гиперболоид

Определение

Пр.2.6.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида  , называется двуполостным гиперболоидом.


Свойства двуполостного гиперболоида:

1°. Двуполостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что  и не ограничен сверху.

 z

 x y

Рисунок Пр.2.6.1.

2°. Двуполостный гиперболоид обладает:

- центральной симметрией относительно начала координат;

- осевой симметрией относительно всех координатных осей;

- симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3°. В сечении двуполостного гиперболоида плоскостью, ортогональной оси координат , при  получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям  или  - гипербола. (Рис. Пр.2.6.1.)

Поверхности вращения

Пусть некоторая кривая, расположенная в плоскости , имеет уравнение . Если вращать эту кривую вокруг оси , то каждая ее точка будет описывать окружность.


Определение

Пр.2.7.1.

Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется поверхностью вращения.

Пример

Пр.2.7.1.

К поверхностям вращения, например, относятся:

1°. Эллипсоид вращения

.

2°. Конус вращения

.

Замечание: поверхности вращения линии второго порядка не всегда задаются уравнениями второго порядка.

Например, если вращать квадратную параболу  вокруг оси , получается эллиптический параболоид вращения, однако при вращении этой же кривой вокруг оси  получится поверхность вращения, задаваемая уравнением вида  или .

Задача

Пр.2.7.1.

Составить уравнение поверхности вращения, получаемой при вращении линии   вокруг оси .

Решение. Зафиксируем на вращаемой линии точку с координатами . Линия, получаемая при вращении этой точки вокруг оси  в плоскости , есть окружность радиуса , с уравнением .

С другой стороны, , поэтому . Наконец, в силу произвольности точки , выбранной на линии вращения, получаем, что уравнение поверхности вращения - эллиптического параболоида есть .

Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач