Начертательная геометрия

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

Гиперболический параболоид

Определение

Пр.2.4.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида  , называется гиперболическим параболоидом.


Свойства гиперболического параболоида:

1°. Гиперболический параболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что  - любое.

2°. Гиперболический параболоид обладает

- осевой симметрией относительно оси ;

- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей  и .

3°. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат , получается гипербола, а плоскостями ортогональными осям  или  - парабола. (Рис. Пр.2.4.1.)

Например, рассматривая скущую плоскость z=z0>0 , получаем следующее уравнение линии сечения

,

являющейся гиперболой. При  уравнение гиперболы будет иметь вид:

.

x

 z

Рисунок Пр.2.4.1.

y

С другой стороны, при сечении гиперболического параболоида плоскостью x=x0 получаем плоскую кривую , являющуюся параболой. Для случая сечения плоскостью  уравнение аналогично и имеет вид .

Из полученных уравнений следует, что гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.


4°.  Гиперболический параболоид имеет два семейства прямолинейных образующих.

Если записать уравнение данной поверхности в виде  , то можно прийти к заключению, что при любых значениях параметра a точки, лежащие на прямых  и , также принадлежат и гиперболическому параболоиду, поскольку почленное перемножение уравнений плоскостей, задающих эти прямые, дает уравнение гиперболического параболоида.

Заметим, что для каждой точки гиперболического параболоида, существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на гиперболическом параболоиде. Уравнения этих прямых могут быть получены (с точностью до некоторого общего ненулевого множителя) путем подбора конкретных значений параметра a.

§Пр.2.5. Однополостный гиперболоид

Определение

Пр.2.5.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида , называется однополостным гиперболоидом.

Свойства однополостного гиперболоида:

1°. Однополостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2°. Однополостный гиперболоид обладает

- центральной симметрией относительно начала координат;

- осевой симметрией относительно всех координатных осей;

- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.


3°. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, ортогональной оси координат , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям  или  - гипербола. (Рис. Пр.2.5.1.) Вывод уравнений для линий сечения аналогичен рассмотренным ранее случаям.

4°. Однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Записав уравнение данной поверхности в виде , можно прийти к заключению, что при любых a и b,  точки, лежащие на прямых

  и ,

будут принадлежать и однополостному гиперболоиду, поскольку почленное перемножение уравнений плоскостей, задающих эти прямые, дает уравнение однополостного гиперболоида.

Для каждой точки однополостного гиперболоида существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на однополостном гиперболоиде. Уравнения этих прямых могут быть получены путем подбора конкретных значений a и b.

 x

 z

Рисунок Пр.2.5.1.

y

Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач