Начертательная геометрия

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Вырожденные поверхности второго порядка

К вырожденным поверхностям второго порядка относятся типы, указанные в первой части таблицы формулировки теоремы 4.5.1.

В первых двух столбцах этой таблицы перечислены типы пустых множеств, а также объекты точечно-линейного типа, исследование которых полностью аналогично случаям, рассмотренным в приложении 1, в ортонормированной, канонической системе координат .

Первые три типа поверхностей, содержащиеся в третьей колонке таблицы, являются частными случаями цилиндрической поверхности, образующая которых параллельна прямой , а направляющими служат плоские кривые - эллипс, гипербола и парабола, соответственно расположенные в плоскости .

Описание свойств невырожденных поверхностей второго порядка будет также выполнено в ортонормированной системе координат .

В общем случае можно показать, что в сечении поверхности второго порядка плоскостью получается кривая второго порядка. Однако для описания основных свойств невырожденных поверхностей второго порядка достаточно рассмотреть сечения, параллельные координатным плоскостям.

Эллипсоид

Определение

Пр.2.2.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида

, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида:

1°. Эллипсоид - ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2°. Эллипсоид обладает:

- центральной симметрией относительно начала координат;

- осевой симметрией относительно координатных осей;

- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.

3°. В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осей координат, получается эллипс. Например, рассматривая секущую плоскость , где , получаем следующее уравнение линии сечения

,

являющейся эллипсом. (Рис. Пр.2.2.1.)

 x

 z

Рисунок Пр.2.2.1.

y

Эллиптический параболоид

Определение

Пр.2.3.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида , называется эллиптическим параболоидом.


Свойства эллиптического параболоида:

1°. Эллиптический параболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что  и принимает сколь угодно большие значения.

2°. Эллиптический параболоид обладает

- осевой симметрией относительно оси ;

- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей  и .

3°. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям  или  - парабола. Например, рассматривая секущую плоскость , получаем следующее уравнение плоской линии

,

являющейся эллипсом. (Рис. Пр.2.3.1.) С другой стороны, сечение плоскостью   приводит к уравнению линии

,

являющейся параболой. Для случая сечения плоскостью  уравнение сечения имеет аналогичный вид.

 .

 

Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач