Начертательная геометрия

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей \vec{l}, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей \vec{l}, целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:

Параболический цилиндр:

Гиперболический цилиндр:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\!

y^2=2px\!

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=1

Cil.png

Par.png

Hip el.png

Пара совпавших прямых:

Пара совпавших плоскостей:

Пара пересекающихся плоскостей:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\!

y^2=0\!

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=0

Конические поверхности

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через M0 и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если \forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,zвыполняется следующее: F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z)\!

Теорема (об уравнении конической поверхности).Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\!

Поверхности вращения

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x2 + y2,z) = 0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид:

Однополостной гиперболоид:

Двуполостной гиперболоид:

Эллиптический параболоид:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\!

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\!

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\!

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz\!

Gnuplot ellipsoid.svg

Hib com.png

Hib sim.png

El Par.png

В случае, если a=b\neq 0, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Уравнение гиперболического параболоида:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz\!

При сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z0 поверхность порождает гиперболу.

При сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x0 или y = y0 поверхность порождает параболу.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида:

\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 2pz

Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

При сечении эллиптический параболоида плоскостью z = z0 поверхность порождает эллипс.

При сечении эллиптический параболоида плоскостью x = x0 или y = y0 поверхность порождает параболу.

На www.vapeluxe.ru купить электронную сигарету в Челябинске.
Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач