Начертательная геометрия

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

Вспомогательные секущие поверхности иногда называются «посредниками».

Общий случай.

В общем случае для решения задачи определения линии пересечения двух поверхностей можно задать семейство образующих на одной из поверхностей (рис. 12), найти точку встречи этих образующих со второй поверхностью по алгоритму решения задачи на рис. 11, после чего произвести обводы точек встречи.

Применяя указанный способ для построения линий пресечения двух кривых поверхностей, мы можем в качестве секущих «посредников» применять вспомогательные плоскости или кривые поверхности.

Следует выбрать по возможности такие вспомогательные поверхности, которые в пересечении с заданными дают простые для построения линии (прямые или окружности).

1.5.2. Оси поверхностей вращения совпадают
(соосные поверхности).

Аксонометрические проекции окружности

На рис. 13 поверхности a и b заданы общей осью i и главными меридианами m0 m0’.

Рис. 13

Главные меридианы пересекаются в точке А(В). Точка А(В) пересечения меридианов при вращении вокруг оси опишет параллель Р, которая будет принадлежать обеим поверхностям, следовательно, будет их линией пресечения.

Таким образом, две соосные поверхности вращения пересекаются по параллелям, которые описывают точки пересечения их меридианов. На рис. 13 оси поверхностей параллельны П2. На плоскость проекций к которой оси поверхностей параллельны, линия пересечения Р2 проецируется прямой положение которой определяют точки пресечения главных меридианов А и В.

1.5.3. Способ секущих плоскостей.

В случае, когда оси поверхностей вращения параллельны, наиболее простые построения получаются при применении в качестве посредников секущих плоскостей. При этом вспомогательные секущие плоскости выбираются так, чтобы они пресекали обе поверхности по окружностям.

На рис. 14 заданы очерками проекции двух поверхностей вращения α и b, их оси i и j параллельны. В этом случае применение секущих плоскостей перпендикулярных осям поверхностей дает простое решение задачи. Получаемые линии пресечения поверхностей будут параллели, фронтальные проекции которых прямые равные диаметру параллели, а горизонтальные – окружности в натуральную величину.

g2

 

Рис. 14.

При построении точек линий пересечения сначала следует найти опорные и характерные точки. Опорными называются точки, которые лежат на главном меридиане (3) и экваторе (4, 5). Нахождение этих точек не связано с дополнительными построениями и основано на использовании свойств принадлежности.

Заданные на рис. 14 поверхности имеют общую плоскость главного меридиана, их оси ^П1, основания лежат в плоскости П1. Опорными точками линии пересечения являются точка 3 пересечения главных меридианов и точки 4 и 5 пресечения параллелей оснований поверхностей. Используя свойства принадлежности, по известным проекциям 32, 41 и 51 находим 31, 42 и 52.

Остальные точки пресечения находим применяя вспомогательные секущие плоскости. Рассечем поверхности α и b горизонтальной плоскостью g. Так как g^ осям i и j, то поверхности α и b пересекаются плоскостью g, по параллелям Ра и Рb. А так как оси i и j^П1, то эти параллели проецируются на П1 окружностями Ра, Рb в истинную величину, а на П2 прямыми Р2а, Р2b равными диаметру параллели.

Точки пресечения параллелей 1 и 2 искомые. Действительно, с одной стороны параллели Ра и Рb принадлежат одной плоскости g и пересекаются в точках 2 и 1. С другой – Ра и Рb  принадлежат разным поверхностям α и b. Следовательно, точки 2 и 1 одновременно принадлежат поверхностям а и b, то есть являются точками линии пересечения поверхностей. Горизонтальные проекции 21 и 11 этих точек находятся в пересечении Р1а, Р1b, а фронтальные строим, используя свойство принадлежности.

Повторяя указанный прием, получим необходимое количество точек. Секущие плоскости распределяют равномерно в интервале от точки наивысшего подъема кривой 32 до основной фигуры.

Количество точек линии пересечения, а следовательно, и секущих плоскостей определяется требуемой точностью графических построений. Проекции линии пересечения строятся как обводы проекций ее точек. На рис. 14 линия по точкам 4, 1, 3, 2, 5.

Рассмотренный пример решения задач получил название способа секущих плоскостей.

1.5.4. Способ сфер.

Этот прием применяется в случае, когда оси поверхностей вращения пересекаются. В его основу положен рассмотренный на рис. 13 случай пересечения соосных поверхностей.

На рис. 15 изображены конус и цилиндр с пересекающимися осями i и j. Их оси параллельны плоскости П2. Плоскость главного меридиана у обеих поверхностей общая.

Рис. 15

Так как плоскость главного меридиана у поверхностей общая, то пересечение главных меридианов конуса и цилиндра дают четыре опорных точки линии пересечения (1, 2, 3, 4), проекции которых 12; 22; 32; 42.

Примем точку пересечения осей «0» за центр концентрических сфер. Проведем сферу g , радиусом Rg=O2A2. Эта сфера, как соосная с цилиндром и конусом (ось j и ось i), пересекается по окружностям с каждой из поверхностей (Ра, Рb, Рb') . Построение упрощается вследствие того, что плоскость главного меридиана общая. Окружности, по которым сфера пересекает одновременно две поверхности (Ра, Рb Рb'), проецируется на плоскость П2 в виде прямых (Р2а, Р2b, Р2b') равных диаметрам параллелей.

В пересечении этих окружностей получаются точки (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), общие для обеих поверхностей и, следовательно, принадлежащие линии пересечения. Действительно параллели Ра, Рb, Рb', с одной стороны, принадлежат одной поверхности – сфере и имеют общие точки (5, 6, 7, 8), с другой – принадлежат разным поверхностям а и b. То есть точки 5, 6, 7, 8 принадлежат обеим поверхностям или линии пересечения поверхностей.

Чтобы получить достаточно точек для проведения искомой линии пересечения, проводится несколько сфер.

Радиус наибольшей сферы (Rmax) равен расстоянию от центра О2 до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующий (в данном случае точки 32 и 42, Rmax=0232=0242. При этом обе линии пресечения поверхностей со сферой (Ра и Рb) пересекутся между собой в точках 3 и 4 при большем радиусе сферы пересечения не будет.

Радиус наименьшей сферы (Rmin) равен расстоянию от центра 02 до наиболее удаленной очерковой образующей (Rmin=02А2). При этом сфера коснется конуса по окружности, а цилиндр пересечет дважды и даст точки 5, 6, 7, 8. При меньшем радиусе сферы пересечения с конусом не будет.

Теперь остается провести через точки 1, 5, 4, 6, 1 и 2, 7, 3, 8, 2 кривые линии пересечения поверхностей.

На рис. 15 все построения выполнены на одной проекции. Количество секущих сфер, с радиусами в интервале от Rmax до Rmin, зависит от требуемой точности построения. Построение горизонтальной проекции линии пересечения выполняется по фронтальной 1, 5, 4, 6, 1 и 2, 7, 3, 8, 2 с использованием свойства принадлежности.

Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач